แก้โจทย์ {l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

คูณ 2 ด้วย x+2

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

คูณ -3 ด้วย y-1

$$2x+4-3y+3=13$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 3

$$2x-3y+7=13$$

ลบ 7 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x-3y=6$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 6+3y

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

ทดแทน \frac{3y}{2}+3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

เพิ่ม 3 ไปยัง 2

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

คูณ 3 ด้วย \frac{3y}{2}+5

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

คูณ 5 ด้วย y-1

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

เพิ่ม \frac{9y}{2} ไปยัง 5y

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

เพิ่ม 15 ไปยัง -5

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{19}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{11}{5}$$

ทดแทน \frac{11}{5} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

คูณ \frac{3}{2} ครั้ง \frac{11}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{33}{10}+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง \frac{33}{10}

$$x=\frac{63}{10}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

ทำสมการแรกให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

คูณ 2 ด้วย x+2

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

คูณ -3 ด้วย y-1

$$2x+4-3y+3=13$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 3

$$2x-3y+7=13$$

ลบ 7 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x-3y=6$$

ทำสมการที่สองให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

คูณ 3 ด้วย x+2

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

คูณ 5 ด้วย y-1

$$3x+6+5y-5=30.9$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -5

$$3x+5y+1=30.9$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x+5y=29.9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$