แก้โจทย์ {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 3x-4

$$6x-8+3y=31$$

เพิ่ม 8 ไปทั้งสองด้าน

$$6x+3y=31+8$$

เพิ่ม 31 และ 8 เพื่อให้ได้รับ 39

$$6x+3y=39$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,5

$$5x-2y=50$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x+3y=39$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-3y+39$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -3y+39

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

ทดแทน \frac{-y+13}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-2y=50

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-y+13}{2}

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

เพิ่ม -\frac{5y}{2} ไปยัง -2y

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

ลบ \frac{65}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{9}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{35}{9}$$

ทดแทน -\frac{35}{9} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ครั้ง -\frac{35}{9} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

เพิ่ม \frac{13}{2} ไปยัง \frac{35}{18} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{76}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 3x-4

$$6x-8+3y=31$$

เพิ่ม 8 ไปทั้งสองด้าน

$$6x+3y=31+8$$

เพิ่ม 31 และ 8 เพื่อให้ได้รับ 39

$$6x+3y=39$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,5

$$5x-2y=50$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 3x-4

$$6x-8+3y=31$$

เพิ่ม 8 ไปทั้งสองด้าน

$$6x+3y=31+8$$

เพิ่ม 31 และ 8 เพื่อให้ได้รับ 39

$$6x+3y=39$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,5

$$5x-2y=50$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

เพื่อทำให้ 6x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

ลบ 30x-12y=300 จาก 30x+15y=195 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

เพิ่ม 30x ไปยัง -30x ตัดพจน์ 30x และ -30x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y+12y=195-300$$

เพิ่ม 15y ไปยัง 12y

$$27y=195-300$$

เพิ่ม 195 ไปยัง -300

$$27y=-105$$

หารทั้งสองข้างด้วย 27

$$y=-\frac{35}{9}$$

ทดแทน -\frac{35}{9} สำหรับ y ใน 5x-2y=50 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{35}{9}

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

ลบ \frac{70}{9} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{380}{9}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{76}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$