แก้โจทย์ {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

คูณ 2 ด้วย 2x-3

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

คูณ 3 ด้วย y+4

$$4x-6+3y+12=7$$

เพิ่ม -6 ไปยัง 12

$$4x+3y+6=7$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x+3y=1$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-3y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -3y+1

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

ทดแทน \frac{-3y+1}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยัง 2

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-3y+9}{4}

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

คูณ -5 ด้วย -y+2

$$-3y+9+5y-10=-3$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 5y

$$2y+9-10=-3$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -10

$$2y-1=-3$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

คูณ -\frac{3}{4} ด้วย -1

$$x=\frac{3+1}{4}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยัง \frac{3}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

ทำสมการแรกให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

คูณ 2 ด้วย 2x-3

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

คูณ 3 ด้วย y+4

$$4x-6+3y+12=7$$

เพิ่ม -6 ไปยัง 12

$$4x+3y+6=7$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x+3y=1$$

ทำสมการที่สองให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

คูณ 4 ด้วย x+2

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

คูณ -5 ด้วย -y+2

$$4x+8+5y-10=-3$$

เพิ่ม 8 ไปยัง -10

$$4x+5y-2=-3$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x+5y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-1$$