แก้โจทย์ {l}{2(2x+5y)=3,6}{5(3x+2y)=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x + 5 y ) = 3,6 } \\ { 5 ( 3 x + 2 y ) = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0.4$$

$$y=0.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$2x+5y=\frac{3.6}{2}$$

ขยาย \frac{3.6}{2} โดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 10

$$2x+5y=\frac{36}{20}$$

ทำเศษส่วน \frac{36}{20} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

พิจารณาสมการที่สอง หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$3x+2y=\frac{8}{5}$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+5y=\frac{9}{5},3x+2y=\frac{8}{5}$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-5y+\frac{9}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+\frac{9}{5}\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -5y+\frac{9}{5}

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{10}$$

ทดแทน -\frac{5y}{2}+\frac{9}{10} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=\frac{8}{5}

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{9}{10}\right)+2y=\frac{8}{5}$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{5y}{2}+\frac{9}{10}

$$-\frac{15}{2}y+\frac{27}{10}+2y=\frac{8}{5}$$

เพิ่ม -\frac{15y}{2} ไปยัง 2y

$$-\frac{11}{2}y+\frac{27}{10}=\frac{8}{5}$$

ลบ \frac{27}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{11}{10}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{11}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{1}{5}$$

ทดแทน \frac{1}{5} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{10} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{1}{5}+\frac{9}{10}$$

คูณ -\frac{5}{2} ครั้ง \frac{1}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

เพิ่ม \frac{9}{10} ไปยัง -\frac{1}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{2}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$2x+5y=\frac{3.6}{2}$$

ขยาย \frac{3.6}{2} โดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 10

$$2x+5y=\frac{36}{20}$$

ทำเศษส่วน \frac{36}{20} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

พิจารณาสมการที่สอง หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$3x+2y=\frac{8}{5}$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+5y=\frac{9}{5},3x+2y=\frac{8}{5}$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 2-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-5\times 3}&\frac{2}{2\times 2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times \frac{9}{5}+\frac{5}{11}\times \frac{8}{5}\\\frac{3}{11}\times \frac{9}{5}-\frac{2}{11}\times \frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$2x+5y=\frac{3.6}{2}$$

ขยาย \frac{3.6}{2} โดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 10

$$2x+5y=\frac{36}{20}$$

ทำเศษส่วน \frac{36}{20} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

พิจารณาสมการที่สอง หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$3x+2y=\frac{8}{5}$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+5y=\frac{9}{5},3x+2y=\frac{8}{5}$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times \frac{9}{5},2\times 3x+2\times 2y=2\times \frac{8}{5}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+15y=\frac{27}{5},6x+4y=\frac{16}{5}$$

ลบ 6x+4y=\frac{16}{5} จาก 6x+15y=\frac{27}{5} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+15y-4y=\frac{27-16}{5}$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y-4y=\frac{27-16}{5}$$

เพิ่ม 15y ไปยัง -4y

$$11y=\frac{27-16}{5}$$

เพิ่ม \frac{27}{5} ไปยัง -\frac{16}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$11y=\frac{11}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$y=\frac{1}{5}$$

ทดแทน \frac{1}{5} สำหรับ y ใน 3x+2y=\frac{8}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\times \frac{1}{5}=\frac{8}{5}$$

คูณ 2 ด้วย \frac{1}{5}

$$3x+\frac{2}{5}=\frac{8}{5}$$

ลบ \frac{2}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{6}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{2}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{5}$$