แก้โจทย์ {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$11x+19y=25$$

ลบ 19y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$11x=-19y+25$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

คูณ \frac{1}{11} ด้วย -19y+25

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

ทดแทน \frac{-19y+25}{11} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 19x+11y=15

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

คูณ 19 ด้วย \frac{-19y+25}{11}

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

เพิ่ม -\frac{361y}{11} ไปยัง 11y

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

ลบ \frac{475}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{240}{11} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{31}{24}$$

ทดแทน \frac{31}{24} สำหรับ y ใน x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

คูณ -\frac{19}{11} ครั้ง \frac{31}{24} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

เพิ่ม \frac{25}{11} ไปยัง -\frac{589}{264} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{24}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

เพื่อทำให้ 11x และ 19x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 19 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 11

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

ลบ 209x+121y=165 จาก 209x+361y=475 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

เพิ่ม 209x ไปยัง -209x ตัดพจน์ 209x และ -209x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$361y-121y=475-165$$

เพิ่ม 361y ไปยัง -121y

$$240y=475-165$$

เพิ่ม 475 ไปยัง -165

$$240y=310$$

หารทั้งสองข้างด้วย 240

$$y=\frac{31}{24}$$

ทดแทน \frac{31}{24} สำหรับ y ใน 19x+11y=15 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

คูณ 11 ด้วย \frac{31}{24}

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

ลบ \frac{341}{24} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$19x=\frac{19}{24}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$x=\frac{1}{24}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$