แก้โจทย์ {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$10x+y-6y=5$$

รวม y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -5y

$$10x-5y=5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 10x จากทั้งสองด้าน

$$10y+x-10x=y+27$$

รวม x และ -10x เพื่อให้ได้รับ -9x

$$10y-9x=y+27$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$10y-9x-y=27$$

รวม 10y และ -y เพื่อให้ได้รับ 9y

$$9y-9x=27$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-5y=5$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$10x=5y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{10} ด้วย 5+5y

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{1+y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -9x+9y=27

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

คูณ -9 ด้วย \frac{1+y}{2}

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

เพิ่ม -\frac{9y}{2} ไปยัง 9y

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

เพิ่ม \frac{9}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 7

$$x=\frac{7+1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{7}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$10x+y-6y=5$$

รวม y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -5y

$$10x-5y=5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 10x จากทั้งสองด้าน

$$10y+x-10x=y+27$$

รวม x และ -10x เพื่อให้ได้รับ -9x

$$10y-9x=y+27$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$10y-9x-y=27$$

รวม 10y และ -y เพื่อให้ได้รับ 9y

$$9y-9x=27$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$10x+y-6y=5$$

รวม y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -5y

$$10x-5y=5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 10x จากทั้งสองด้าน

$$10y+x-10x=y+27$$

รวม x และ -10x เพื่อให้ได้รับ -9x

$$10y-9x=y+27$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$10y-9x-y=27$$

รวม 10y และ -y เพื่อให้ได้รับ 9y

$$9y-9x=27$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

เพื่อทำให้ 10x และ -9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 10

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

ลบ -90x+90y=270 จาก -90x+45y=-45 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

เพิ่ม -90x ไปยัง 90x ตัดพจน์ -90x และ 90x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$45y-90y=-45-270$$

เพิ่ม 45y ไปยัง -90y

$$-45y=-45-270$$

เพิ่ม -45 ไปยัง -270

$$-45y=-315$$

หารทั้งสองข้างด้วย -45

$$y=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ y ใน -9x+9y=27 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-9x+9\times 7=27$$

คูณ 9 ด้วย 7

$$-9x+63=27$$

ลบ 63 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-9x=-36$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=7$$