แก้โจทย์ {l}{10x+25y=600}{15x+30y=750}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 25 y = 600 } \\ { 15 x + 30 y = 750 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x+25y=600$$

ลบ 25y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10x=-25y+600$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$x=\frac{1}{10}\left(-25y+600\right)$$

คูณ \frac{1}{10} ด้วย -25y+600

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

ทดแทน -\frac{5y}{2}+60 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 15x+30y=750

$$15\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+30y=750$$

คูณ 15 ด้วย -\frac{5y}{2}+60

$$-\frac{75}{2}y+900+30y=750$$

เพิ่ม -\frac{75y}{2} ไปยัง 30y

$$-\frac{15}{2}y+900=750$$

ลบ 900 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{15}{2}y=-150$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{15}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=20$$

ทดแทน 20 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{2}y+60 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{2}\times 20+60$$

คูณ -\frac{5}{2} ด้วย 20

$$x=-50+60$$

เพิ่ม 60 ไปยัง -50

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=20$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{10\times 30-25\times 15}&-\frac{25}{10\times 30-25\times 15}\\-\frac{15}{10\times 30-25\times 15}&\frac{10}{10\times 30-25\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 600+\frac{1}{3}\times 750\\\frac{1}{5}\times 600-\frac{2}{15}\times 750\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=10,y=20$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

เพื่อทำให้ 10x และ 15x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 15 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 10

$$15\times 10x+15\times 25y=15\times 600,10\times 15x+10\times 30y=10\times 750$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$150x+375y=9000,150x+300y=7500$$

ลบ 150x+300y=7500 จาก 150x+375y=9000 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$150x-150x+375y-300y=9000-7500$$

เพิ่ม 150x ไปยัง -150x ตัดพจน์ 150x และ -150x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$375y-300y=9000-7500$$

เพิ่ม 375y ไปยัง -300y

$$75y=9000-7500$$

เพิ่ม 9000 ไปยัง -7500

$$75y=1500$$

หารทั้งสองข้างด้วย 75

$$y=20$$

ทดแทน 20 สำหรับ y ใน 15x+30y=750 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$15x+30\times 20=750$$

คูณ 30 ด้วย 20

$$15x+600=750$$

ลบ 600 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$15x=150$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=20$$