แก้โจทย์ {l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=20$$

$$y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$1.5x-3.5y=-5$$

เพิ่ม \frac{7y}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$1.5x=3.5y-5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย \frac{7y}{2}-5

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

ทดแทน \frac{7y-10}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -1.2x+2.5y=1

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

คูณ -1.2 ด้วย \frac{7y-10}{3}

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

เพิ่ม -\frac{14y}{5} ไปยัง \frac{5y}{2}

$$-0.3y+4=1$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.3y=-3$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.3 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ y ใน x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

คูณ \frac{7}{3} ด้วย 10

$$x=\frac{70-10}{3}$$

เพิ่ม -\frac{10}{3} ไปยัง \frac{70}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=20$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=20,y=10$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=20,y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

เพื่อทำให้ \frac{3x}{2} และ -\frac{6x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1.2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1.5

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

ลบ -1.8x+3.75y=1.5 จาก -1.8x+4.2y=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

เพิ่ม -\frac{9x}{5} ไปยัง \frac{9x}{5} ตัดพจน์ -\frac{9x}{5} และ \frac{9x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

เพิ่ม \frac{21y}{5} ไปยัง -\frac{15y}{4}

$$0.45y=6-1.5$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -1.5

$$0.45y=4.5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.45 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ y ใน -1.2x+2.5y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

คูณ 2.5 ด้วย 10

$$-1.2x+25=1$$

ลบ 25 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-1.2x=-24$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -1.2 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=20$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=20,y=10$$