แก้โจทย์ {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=28$$

$$y=30$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.5x+0.7y=35$$

ลบ \frac{7y}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.5x=-0.7y+35$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{7y}{10}+35

$$x=-1.4y+70$$

ทดแทน -\frac{7y}{5}+70 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+0.4y=40

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

เพิ่ม -\frac{7y}{5} ไปยัง \frac{2y}{5}

$$-y+70=40$$

ลบ 70 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=30$$

ทดแทน 30 สำหรับ y ใน x=-1.4y+70 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-1.4\times 30+70$$

คูณ -1.4 ด้วย 30

$$x=-42+70$$

เพิ่ม 70 ไปยัง -42

$$x=28$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=28,y=30$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=28,y=30$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

เพื่อทำให้ \frac{x}{2} และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.5

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

ลบ 0.5x+0.2y=20 จาก 0.5x+0.7y=35 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

เพิ่ม \frac{x}{2} ไปยัง -\frac{x}{2} ตัดพจน์ \frac{x}{2} และ -\frac{x}{2} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.7y-0.2y=35-20$$

เพิ่ม \frac{7y}{10} ไปยัง -\frac{y}{5}

$$0.5y=35-20$$

เพิ่ม 35 ไปยัง -20

$$0.5y=15$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=30$$

ทดแทน 30 สำหรับ y ใน x+0.4y=40 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+0.4\times 30=40$$

คูณ 0.4 ด้วย 30

$$x+12=40$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=28$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=28,y=30$$