แก้โจทย์ {l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 0.2y จากทั้งสองด้าน

$$0.9x-0.2y=19$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.3x-0.5y=29$$

เพิ่ม \frac{y}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.3x=0.5y+29$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.3 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

คูณ \frac{10}{3} ด้วย \frac{y}{2}+29

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

ทดแทน \frac{5y+290}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.9x-0.2y=19

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

คูณ 0.9 ด้วย \frac{5y+290}{3}

$$1.5y+87-0.2y=19$$

เพิ่ม \frac{3y}{2} ไปยัง -\frac{y}{5}

$$1.3y+87=19$$

ลบ 87 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$1.3y=-68$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.3 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{680}{13}$$

ทดแทน -\frac{680}{13} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

คูณ \frac{5}{3} ครั้ง -\frac{680}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

เพิ่ม \frac{290}{3} ไปยัง -\frac{3400}{39} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{370}{39}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 0.2y จากทั้งสองด้าน

$$0.9x-0.2y=19$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 0.2y จากทั้งสองด้าน

$$0.9x-0.2y=19$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

เพื่อทำให้ \frac{3x}{10} และ \frac{9x}{10} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.3

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

ลบ 0.27x-0.06y=5.7 จาก 0.27x-0.45y=26.1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

เพิ่ม \frac{27x}{100} ไปยัง -\frac{27x}{100} ตัดพจน์ \frac{27x}{100} และ -\frac{27x}{100} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

เพิ่ม -\frac{9y}{20} ไปยัง \frac{3y}{50}

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

เพิ่ม 26.1 ไปยัง -5.7 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-0.39y=20.4$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.39 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{680}{13}$$

ทดแทน -\frac{680}{13} สำหรับ y ใน 0.9x-0.2y=19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

คูณ -0.2 ครั้ง -\frac{680}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

ลบ \frac{136}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.9 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{370}{39}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$