แก้โจทย์ {l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

หาค่า r, t

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ r โดยแยก r ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.07r+0.02t=0.16$$

ลบ \frac{t}{50} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.07 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

คูณ \frac{100}{7} ด้วย -\frac{t}{50}+0.16

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

ทดแทน \frac{-2t+16}{7} สำหรับ r ในอีกสมการหนึ่ง 0.05r-0.03t=0.21

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

คูณ 0.05 ด้วย \frac{-2t+16}{7}

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

เพิ่ม -\frac{t}{70} ไปยัง -\frac{3t}{100}

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

ลบ \frac{4}{35} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{31}{700} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$t=-\frac{67}{31}$$

ทดแทน -\frac{67}{31} สำหรับ t ใน r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า r โดยตรงได้

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

คูณ -\frac{2}{7} ครั้ง -\frac{67}{31} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

เพิ่ม \frac{16}{7} ไปยัง \frac{134}{217} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$r=\frac{90}{31}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ r และ t

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

เพื่อทำให้ \frac{7r}{100} และ \frac{r}{20} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.05 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.07

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

ลบ 0.0035r-0.0021t=0.0147 จาก 0.0035r+0.001t=0.008 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

เพิ่ม \frac{7r}{2000} ไปยัง -\frac{7r}{2000} ตัดพจน์ \frac{7r}{2000} และ -\frac{7r}{2000} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

เพิ่ม \frac{t}{1000} ไปยัง \frac{21t}{10000}

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

เพิ่ม 0.008 ไปยัง -0.0147 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$0.0031t=-0.0067$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.0031 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$t=-\frac{67}{31}$$

ทดแทน -\frac{67}{31} สำหรับ t ใน 0.05r-0.03t=0.21 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า r โดยตรงได้

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

คูณ -0.03 ครั้ง -\frac{67}{31} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

ลบ \frac{201}{3100} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 20

$$r=\frac{90}{31}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$