แก้โจทย์ {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{130}{43} = 3\frac{1}{43} \approx 3.023255814$$

$$y = \frac{391}{43} = 9\frac{4}{43} \approx 9.093023256$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.6x+2y=20$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.6x=-2y+20$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.6 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

คูณ \frac{5}{3} ด้วย -2y+20

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

ทดแทน \frac{-10y+100}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x+y+2=-1

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

คูณ -4 ด้วย \frac{-10y+100}{3}

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

เพิ่ม \frac{40y}{3} ไปยัง y

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

เพิ่ม -\frac{400}{3} ไปยัง 2

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

เพิ่ม \frac{394}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{43}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{391}{43}$$

ทดแทน \frac{391}{43} สำหรับ y ใน x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

คูณ -\frac{10}{3} ครั้ง \frac{391}{43} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

เพิ่ม \frac{100}{3} ไปยัง -\frac{3910}{129} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{130}{43}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0.6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0.6-2\left(-4\right)}&\frac{0.6}{0.6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

เพื่อทำให้ \frac{3x}{5} และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.6

$$-4\times 0.6x-4\times 2y=-4\times 20,0.6\left(-4\right)x+0.6y+0.6\times 2=0.6\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2.4x-8y=-80,-2.4x+0.6y+1.2=-0.6$$

ลบ -2.4x+0.6y+1.2=-0.6 จาก -2.4x-8y=-80 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2.4x+2.4x-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

เพิ่ม -\frac{12x}{5} ไปยัง \frac{12x}{5} ตัดพจน์ -\frac{12x}{5} และ \frac{12x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

เพิ่ม -8y ไปยัง -\frac{3y}{5}

$$-8.6y-1.2=-80+0.6$$

เพิ่ม -80 ไปยัง 0.6

$$-8.6y-1.2=-79.4$$

เพิ่ม 1.2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-8.6y=-78.2$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -8.6 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{391}{43}$$

ทดแทน \frac{391}{43} สำหรับ y ใน -4x+y+2=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

เพิ่ม \frac{391}{43} ไปยัง 2

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

ลบ \frac{477}{43} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=\frac{130}{43}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$