แก้โจทย์ {l}{0,2x-0,3(2y+1)=1,5}{3(x+1)+3y=2y-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,2 x - 0,3 ( 2 y + 1 ) = 1,5 } \\ { 3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-0.6$$

$$y=-3.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -0.3 ด้วย 2y+1

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

เพิ่ม 0.3 ไปทั้งสองด้าน

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

เพิ่ม 1.5 และ 0.3 เพื่อให้ได้รับ 1.8

$$0.2x-0.6y=1.8$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1

$$3x+3+3y=2y-2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x+3+3y-2y=-2$$

รวม 3y และ -2y เพื่อให้ได้รับ y

$$3x+3+y=-2$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$3x+y=-2-3$$

ลบ 3 จาก -2 เพื่อรับ -5

$$3x+y=-5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.2x-0.6y=1.8$$

เพิ่ม \frac{3y}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.2x=0.6y+1.8$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=5\left(0.6y+1.8\right)$$

คูณ 5 ด้วย \frac{3y+9}{5}

$$x=3y+9$$

ทดแทน 9+3y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+y=-5

$$3\left(3y+9\right)+y=-5$$

คูณ 3 ด้วย 9+3y

$$9y+27+y=-5$$

เพิ่ม 9y ไปยัง y

$$10y+27=-5$$

ลบ 27 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10y=-32$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=-\frac{16}{5}$$

ทดแทน -\frac{16}{5} สำหรับ y ใน x=3y+9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=3\left(-\frac{16}{5}\right)+9$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{16}{5}

$$x=-\frac{48}{5}+9$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -\frac{48}{5}

$$x=-\frac{3}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -0.3 ด้วย 2y+1

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

เพิ่ม 0.3 ไปทั้งสองด้าน

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

เพิ่ม 1.5 และ 0.3 เพื่อให้ได้รับ 1.8

$$0.2x-0.6y=1.8$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1

$$3x+3+3y=2y-2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x+3+3y-2y=-2$$

รวม 3y และ -2y เพื่อให้ได้รับ y

$$3x+3+y=-2$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$3x+y=-2-3$$

ลบ 3 จาก -2 เพื่อรับ -5

$$3x+y=-5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&-\frac{-0.6}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\\-\frac{3}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&\frac{0.2}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 1.8+\frac{3}{10}\left(-5\right)\\-\frac{3}{2}\times 1.8+\frac{1}{10}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -0.3 ด้วย 2y+1

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

เพิ่ม 0.3 ไปทั้งสองด้าน

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

เพิ่ม 1.5 และ 0.3 เพื่อให้ได้รับ 1.8

$$0.2x-0.6y=1.8$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1

$$3x+3+3y=2y-2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x+3+3y-2y=-2$$

รวม 3y และ -2y เพื่อให้ได้รับ y

$$3x+3+y=-2$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$3x+y=-2-3$$

ลบ 3 จาก -2 เพื่อรับ -5

$$3x+y=-5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

เพื่อทำให้ \frac{x}{5} และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.2

$$3\times 0.2x+3\left(-0.6\right)y=3\times 1.8,0.2\times 3x+0.2y=0.2\left(-5\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.6x-1.8y=5.4,0.6x+0.2y=-1$$

ลบ 0.6x+0.2y=-1 จาก 0.6x-1.8y=5.4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.6x-0.6x-1.8y-0.2y=5.4+1$$

เพิ่ม \frac{3x}{5} ไปยัง -\frac{3x}{5} ตัดพจน์ \frac{3x}{5} และ -\frac{3x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-1.8y-0.2y=5.4+1$$

เพิ่ม -\frac{9y}{5} ไปยัง -\frac{y}{5}

$$-2y=5.4+1$$

เพิ่ม 5.4 ไปยัง 1

$$-2y=6.4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=-\frac{16}{5}$$

ทดแทน -\frac{16}{5} สำหรับ y ใน 3x+y=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-\frac{16}{5}=-5$$

เพิ่ม \frac{16}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-\frac{9}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-\frac{3}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$