แก้โจทย์ {l}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+5y=1$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-5y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

คูณ -1 ด้วย -5y+1

$$x=5y-1$$

ทดแทน 5y-1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x-5y=11

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

คูณ -2 ด้วย 5y-1

$$-10y+2-5y=11$$

เพิ่ม -10y ไปยัง -5y

$$-15y+2=11$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-15y=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -15

$$y=-\frac{3}{5}$$

ทดแทน -\frac{3}{5} สำหรับ y ใน x=5y-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{3}{5}

$$x=-3-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง -3

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

เพื่อทำให้ -x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -1

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

ลบ 2x+5y=-11 จาก 2x-10y=-2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-10y-5y=-2+11$$

เพิ่ม -10y ไปยัง -5y

$$-15y=-2+11$$

เพิ่ม -2 ไปยัง 11

$$-15y=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -15

$$y=-\frac{3}{5}$$

ทดแทน -\frac{3}{5} สำหรับ y ใน -2x-5y=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

คูณ -5 ด้วย -\frac{3}{5}

$$-2x+3=11$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$