แก้โจทย์ {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-8x+4y=24$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=-4y+24$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

คูณ -\frac{1}{8} ด้วย -4y+24

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

ทดแทน \frac{y}{2}-3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -7x+7y=28

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

คูณ -7 ด้วย \frac{y}{2}-3

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

เพิ่ม -\frac{7y}{2} ไปยัง 7y

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

ลบ 21 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{2}y=7$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 2

$$x=1-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 1

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

เพื่อทำให้ -8x และ -7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -8

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

ลบ 56x-56y=-224 จาก 56x-28y=-168 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

เพิ่ม 56x ไปยัง -56x ตัดพจน์ 56x และ -56x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-28y+56y=-168+224$$

เพิ่ม -28y ไปยัง 56y

$$28y=-168+224$$

เพิ่ม -168 ไปยัง 224

$$28y=56$$

หารทั้งสองข้างด้วย 28

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน -7x+7y=28 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-7x+7\times 2=28$$

คูณ 7 ด้วย 2

$$-7x+14=28$$

ลบ 14 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=2$$