แก้โจทย์ {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 10x จากทั้งสองด้าน

$$5y-10x=-15$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-5x+y=-12$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=-y-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย -y-12

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

ทดแทน \frac{12+y}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -10x+5y=-15

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

คูณ -10 ด้วย \frac{12+y}{5}

$$-2y-24+5y=-15$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 5y

$$3y-24=-15$$

เพิ่ม 24 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 3

$$x=\frac{3+12}{5}$$

เพิ่ม \frac{12}{5} ไปยัง \frac{3}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 10x จากทั้งสองด้าน

$$5y-10x=-15$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 10x จากทั้งสองด้าน

$$5y-10x=-15$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

เพื่อทำให้ -5x และ -10x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -10 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -5

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

ลบ 50x-25y=75 จาก 50x-10y=120 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

เพิ่ม 50x ไปยัง -50x ตัดพจน์ 50x และ -50x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-10y+25y=120-75$$

เพิ่ม -10y ไปยัง 25y

$$15y=120-75$$

เพิ่ม 120 ไปยัง -75

$$15y=45$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน -10x+5y=-15 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-10x+5\times 3=-15$$

คูณ 5 ด้วย 3

$$-10x+15=-15$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-10x=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=3$$