แก้โจทย์ {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=1$$

$$b=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 4a จากทั้งสองด้าน

$$-3a-4a=2b-3$$

รวม -3a และ -4a เพื่อให้ได้รับ -7a

$$-7a=2b-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

คูณ -\frac{1}{7} ด้วย 2b-3

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

ทดแทน \frac{-2b+3}{7} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง -2a-b=0

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

คูณ -2 ด้วย \frac{-2b+3}{7}

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

เพิ่ม \frac{4b}{7} ไปยัง -b

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

เพิ่ม \frac{6}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ b ใน a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

คูณ -\frac{2}{7} ด้วย -2

$$a=\frac{4+3}{7}$$

เพิ่ม \frac{3}{7} ไปยัง \frac{4}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=1,b=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 4a จากทั้งสองด้าน

$$-3a-4a=2b-3$$

รวม -3a และ -4a เพื่อให้ได้รับ -7a

$$-7a=2b-3$$

ลบ 2b จากทั้งสองด้าน

$$-7a-2b=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร a ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2a

$$-b=2a$$

ลบ 2a จากทั้งสองด้าน

$$-b-2a=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=1,b=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 4a จากทั้งสองด้าน

$$-3a-4a=2b-3$$

รวม -3a และ -4a เพื่อให้ได้รับ -7a

$$-7a=2b-3$$

ลบ 2b จากทั้งสองด้าน

$$-7a-2b=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร a ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2a

$$-b=2a$$

ลบ 2a จากทั้งสองด้าน

$$-b-2a=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

เพื่อทำให้ -7a และ -2a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -7

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

ลบ 14a+7b=0 จาก 14a+4b=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$14a-14a+4b-7b=6$$

เพิ่ม 14a ไปยัง -14a ตัดพจน์ 14a และ -14a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4b-7b=6$$

เพิ่ม 4b ไปยัง -7b

$$-3b=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$b=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ b ใน -2a-b=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2a=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$a=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=1,b=-2$$