แก้โจทย์ {l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-10x-3y=9$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-10x=3y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

คูณ -\frac{1}{10} ด้วย 9+3y

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

ทดแทน \frac{-3y-9}{10} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -5x+5y=-2

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

คูณ -5 ด้วย \frac{-3y-9}{10}

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

เพิ่ม \frac{3y}{2} ไปยัง 5y

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

ลบ \frac{9}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

คูณ -\frac{3}{10} ด้วย -1

$$x=\frac{3-9}{10}$$

เพิ่ม -\frac{9}{10} ไปยัง \frac{3}{10} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{3}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

เพื่อทำให้ -10x และ -5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -10

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

ลบ 50x-50y=20 จาก 50x+15y=-45 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

เพิ่ม 50x ไปยัง -50x ตัดพจน์ 50x และ -50x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y+50y=-45-20$$

เพิ่ม 15y ไปยัง 50y

$$65y=-45-20$$

เพิ่ม -45 ไปยัง -20

$$65y=-65$$

หารทั้งสองข้างด้วย 65

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน -5x+5y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

คูณ 5 ด้วย -1

$$-5x-5=-2$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-\frac{3}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$