แก้โจทย์ {l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=11$$

$$y=36$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-10x+3y=-2$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-10x=-3y-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

คูณ -\frac{1}{10} ด้วย -3y-2

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

ทดแทน \frac{3y}{10}+\frac{1}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-y=8

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

คูณ 4 ด้วย \frac{3y}{10}+\frac{1}{5}

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

เพิ่ม \frac{6y}{5} ไปยัง -y

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

ลบ \frac{4}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=36$$

ทดแทน 36 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

คูณ \frac{3}{10} ด้วย 36

$$x=\frac{54+1}{5}$$

เพิ่ม \frac{1}{5} ไปยัง \frac{54}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11,y=36$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=11,y=36$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

เพื่อทำให้ -10x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -10

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

ลบ -40x+10y=-80 จาก -40x+12y=-8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

เพิ่ม -40x ไปยัง 40x ตัดพจน์ -40x และ 40x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12y-10y=-8+80$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -10y

$$2y=-8+80$$

เพิ่ม -8 ไปยัง 80

$$2y=72$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=36$$

ทดแทน 36 สำหรับ y ใน 4x-y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-36=8$$

เพิ่ม 36 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=44$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11,y=36$$