แก้โจทย์ {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-2\right)^{2}

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x-2y

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

รวม -4x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -6x

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

พิจารณา \left(3-x\right)\left(3+x\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 3

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 9-x^{2} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

ลบ 9 จาก 1 เพื่อรับ -8

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-6x+4+4y=-8$$

ลบ 4 จากทั้งสองด้าน

$$-6x+4y=-8-4$$

ลบ 4 จาก -8 เพื่อรับ -12

$$-6x+4y=-12$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6x+4y=-12$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-6x=-4y-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

คูณ -\frac{1}{6} ด้วย -4y-12

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

ทดแทน \frac{2y}{3}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=4

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

คูณ 2 ด้วย \frac{2y}{3}+2

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

เพิ่ม \frac{4y}{3} ไปยัง y

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{3}y=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=\frac{2}{3}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-2\right)^{2}

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x-2y

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

รวม -4x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -6x

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

พิจารณา \left(3-x\right)\left(3+x\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 3

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 9-x^{2} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

ลบ 9 จาก 1 เพื่อรับ -8

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-6x+4+4y=-8$$

ลบ 4 จากทั้งสองด้าน

$$-6x+4y=-8-4$$

ลบ 4 จาก -8 เพื่อรับ -12

$$-6x+4y=-12$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-2\right)^{2}

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x-2y

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

รวม -4x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -6x

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

พิจารณา \left(3-x\right)\left(3+x\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 3

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 9-x^{2} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

ลบ 9 จาก 1 เพื่อรับ -8

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-6x+4+4y=-8$$

ลบ 4 จากทั้งสองด้าน

$$-6x+4y=-8-4$$

ลบ 4 จาก -8 เพื่อรับ -12

$$-6x+4y=-12$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

เพื่อทำให้ -6x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -6

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

ลบ -12x-6y=-24 จาก -12x+8y=-24 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

เพิ่ม -12x ไปยัง 12x ตัดพจน์ -12x และ 12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y+6y=-24+24$$

เพิ่ม 8y ไปยัง 6y

$$14y=-24+24$$

เพิ่ม -24 ไปยัง 24

$$14y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 14

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน 2x+y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=0$$