แก้โจทย์ {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+2\right)^{2}

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

เพิ่ม 4 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 5

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$4x+5=5y$$

ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$4x+5-5y=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$4x-5y=-5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-5y=-5$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=5y-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -5+5y

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

ทดแทน \frac{-5+5y}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+y=1

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-5+5y}{4}

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

เพิ่ม \frac{15y}{4} ไปยัง y

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

เพิ่ม \frac{15}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{19}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5-5}{4}$$

เพิ่ม -\frac{5}{4} ไปยัง \frac{5}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=0$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=0,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+2\right)^{2}

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

เพิ่ม 4 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 5

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$4x+5=5y$$

ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$4x+5-5y=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$4x-5y=-5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+2\right)^{2}

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

เพิ่ม 4 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 5

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$4x+5=5y$$

ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$4x+5-5y=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$4x-5y=-5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

เพื่อทำให้ 4x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

ลบ 12x+4y=4 จาก 12x-15y=-15 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-15y-4y=-15-4$$

เพิ่ม -15y ไปยัง -4y

$$-19y=-15-4$$

เพิ่ม -15 ไปยัง -4

$$-19y=-19$$

หารทั้งสองข้างด้วย -19

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน 3x+y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+1=1$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=0$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=0,y=1$$