แก้โจทย์ {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,2

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-y

$$2x-2y-5y=10x-10$$

รวม -2y และ -5y เพื่อให้ได้รับ -7y

$$2x-7y=10x-10$$

ลบ 10x จากทั้งสองด้าน

$$2x-7y-10x=-10$$

รวม 2x และ -10x เพื่อให้ได้รับ -8x

$$-8x-7y=-10$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+2

$$2x+3y+6=6$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=6-6$$

ลบ 6 จาก 6 เพื่อรับ 0

$$2x+3y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-8x-7y=-10$$

เพิ่ม 7y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=7y-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

คูณ -\frac{1}{8} ด้วย 7y-10

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

ทดแทน -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=0

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

เพิ่ม -\frac{7y}{4} ไปยัง 3y

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

ลบ \frac{5}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

คูณ -\frac{7}{8} ด้วย -2

$$x=\frac{7+5}{4}$$

เพิ่ม \frac{5}{4} ไปยัง \frac{7}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,2

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-y

$$2x-2y-5y=10x-10$$

รวม -2y และ -5y เพื่อให้ได้รับ -7y

$$2x-7y=10x-10$$

ลบ 10x จากทั้งสองด้าน

$$2x-7y-10x=-10$$

รวม 2x และ -10x เพื่อให้ได้รับ -8x

$$-8x-7y=-10$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+2

$$2x+3y+6=6$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=6-6$$

ลบ 6 จาก 6 เพื่อรับ 0

$$2x+3y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,2

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-y

$$2x-2y-5y=10x-10$$

รวม -2y และ -5y เพื่อให้ได้รับ -7y

$$2x-7y=10x-10$$

ลบ 10x จากทั้งสองด้าน

$$2x-7y-10x=-10$$

รวม 2x และ -10x เพื่อให้ได้รับ -8x

$$-8x-7y=-10$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+2

$$2x+3y+6=6$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=6-6$$

ลบ 6 จาก 6 เพื่อรับ 0

$$2x+3y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

เพื่อทำให้ -8x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -8

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

ลบ -16x-24y=0 จาก -16x-14y=-20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

เพิ่ม -16x ไปยัง 16x ตัดพจน์ -16x และ 16x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-14y+24y=-20$$

เพิ่ม -14y ไปยัง 24y

$$10y=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน 2x+3y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

คูณ 3 ด้วย -2

$$2x-6=0$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-2$$