แก้โจทย์ {l}{x/y=e}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { y } = e } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{e}{e+1}\approx 0.731058579$$

$$y=\frac{1}{e+1}\approx 0.268941421$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย y

$$x=ey$$

ทดแทน ey สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=1

$$ey+y=1$$

เพิ่ม ey ไปยัง y

$$\left(e+1\right)y=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย e+1

$$y=\frac{1}{e+1}$$

ทดแทน \frac{1}{e+1} สำหรับ y ใน x=ey เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=e\times \frac{1}{e+1}$$

คูณ e ด้วย \frac{1}{e+1}

$$x=\frac{e}{e+1}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย y

$$x=ey$$

ลบ ey จากทั้งสองด้าน

$$x-ey=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-e\right)}&-\frac{-e}{1-\left(-e\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-e\right)}&\frac{1}{1-\left(-e\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{e+1}&\frac{e}{e+1}\\-\frac{1}{e+1}&\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{e}{e+1}\\\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย y

$$x=ey$$

ลบ ey จากทั้งสองด้าน

$$x-ey=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

ลบ x+y=1 จาก x+\left(-e\right)y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x+\left(-e\right)y-y=-1$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\left(-e\right)y-y=-1$$

เพิ่ม -ey ไปยัง -y

$$\left(-e-1\right)y=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -e-1

$$y=\frac{1}{e+1}$$

ทดแทน \frac{1}{1+e} สำหรับ y ใน x+y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+\frac{1}{e+1}=1$$

ลบ \frac{1}{1+e} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{e}{e+1}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$