แก้โจทย์ {l}{x/6-y=-1}{3x-2y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - y = - 1 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{1}{6}x-y=-1$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{6}x=y-1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=6\left(y-1\right)$$

คูณ 6 ด้วย y-1

$$x=6y-6$$

ทดแทน -6+6y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-2y=6

$$3\left(6y-6\right)-2y=6$$

คูณ 3 ด้วย -6+6y

$$18y-18-2y=6$$

เพิ่ม 18y ไปยัง -2y

$$16y-18=6$$

เพิ่ม 18 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$16y=24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$y=\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3}{2} สำหรับ y ใน x=6y-6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=6\times \frac{3}{2}-6$$

คูณ 6 ด้วย \frac{3}{2}

$$x=9-6$$

เพิ่ม -6 ไปยัง 9

$$x=3$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{3}{8}\\-\frac{9}{8}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{9}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

เพื่อทำให้ \frac{x}{6} และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{1}{6}

$$3\times \frac{1}{6}x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),\frac{1}{6}\times 3x+\frac{1}{6}\left(-2\right)y=\frac{1}{6}\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{1}{2}x-3y=-3,\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$$

ลบ \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 จาก \frac{1}{2}x-3y=-3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

เพิ่ม \frac{x}{2} ไปยัง -\frac{x}{2} ตัดพจน์ \frac{x}{2} และ -\frac{x}{2} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

เพิ่ม -3y ไปยัง \frac{y}{3}

$$-\frac{8}{3}y=-3-1$$

เพิ่ม -3 ไปยัง -1

$$-\frac{8}{3}y=-4$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3}{2} สำหรับ y ใน 3x-2y=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-2\times \frac{3}{2}=6$$

คูณ -2 ด้วย \frac{3}{2}

$$3x-3=6$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=3$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$