แก้โจทย์ {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=12$$

$$y=30$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 30 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,5

$$5x-6y=-120$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,6

$$3x-2y=-24$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-6y=-120$$

เพิ่ม 6y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=6y-120$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -120+6y

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

ทดแทน \frac{6y}{5}-24 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-2y=-24

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

คูณ 3 ด้วย \frac{6y}{5}-24

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

เพิ่ม \frac{18y}{5} ไปยัง -2y

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

เพิ่ม 72 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{8}{5}y=48$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{8}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=30$$

ทดแทน 30 สำหรับ y ใน x=\frac{6}{5}y-24 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

คูณ \frac{6}{5} ด้วย 30

$$x=36-24$$

เพิ่ม -24 ไปยัง 36

$$x=12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=12,y=30$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 30 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,5

$$5x-6y=-120$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,6

$$3x-2y=-24$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=12,y=30$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 30 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,5

$$5x-6y=-120$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,6

$$3x-2y=-24$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

เพื่อทำให้ 5x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

ลบ 15x-10y=-120 จาก 15x-18y=-360 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-18y+10y=-360+120$$

เพิ่ม -18y ไปยัง 10y

$$-8y=-360+120$$

เพิ่ม -360 ไปยัง 120

$$-8y=-240$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$y=30$$

ทดแทน 30 สำหรับ y ใน 3x-2y=-24 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-2\times 30=-24$$

คูณ -2 ด้วย 30

$$3x-60=-24$$

เพิ่ม 60 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=36$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=12,y=30$$