แก้โจทย์ {l}{x/4+y/3=7}{2/3x+y/2=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 7 } \\ { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { y } { 2 } = 14 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=12$$

$$y=12$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7$$

ลบ \frac{y}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y+7$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=4\left(-\frac{1}{3}y+7\right)$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{y}{3}+7

$$x=-\frac{4}{3}y+28$$

ทดแทน -\frac{4y}{3}+28 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14

$$\frac{2}{3}\left(-\frac{4}{3}y+28\right)+\frac{1}{2}y=14$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย -\frac{4y}{3}+28

$$-\frac{8}{9}y+\frac{56}{3}+\frac{1}{2}y=14$$

เพิ่ม -\frac{8y}{9} ไปยัง \frac{y}{2}

$$-\frac{7}{18}y+\frac{56}{3}=14$$

ลบ \frac{56}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{18}y=-\frac{14}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{18} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=12$$

ทดแทน 12 สำหรับ y ใน x=-\frac{4}{3}y+28 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{4}{3}\times 12+28$$

คูณ -\frac{4}{3} ด้วย 12

$$x=-16+28$$

เพิ่ม 28 ไปยัง -16

$$x=12$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=12,y=12$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}&\frac{24}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}\times 7+\frac{24}{7}\times 14\\\frac{48}{7}\times 7-\frac{18}{7}\times 14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=12,y=12$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

เพื่อทำให้ \frac{x}{4} และ \frac{2x}{3} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{2}{3} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{1}{4}

$$\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{2}{3}\times 7,\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{4}\times 14$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}$$

ลบ \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2} จาก \frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

เพิ่ม \frac{x}{6} ไปยัง -\frac{x}{6} ตัดพจน์ \frac{x}{6} และ -\frac{x}{6} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

เพิ่ม \frac{2y}{9} ไปยัง -\frac{y}{8}

$$\frac{7}{72}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

เพิ่ม \frac{14}{3} ไปยัง -\frac{7}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$\frac{7}{72}y=\frac{7}{6}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{72} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=12$$

ทดแทน 12 สำหรับ y ใน \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\times 12=14$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 12

$$\frac{2}{3}x+6=14$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{2}{3}x=8$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{2}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=12$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=12,y=12$$