แก้โจทย์ {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4,2,6

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

ทำการคูณ

$$4x+3y=12-12$$

ลบ 12 จาก 12 เพื่อรับ 0

$$4x+3y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,2,4,10

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x+y

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -10 ด้วย y-2

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

รวม 4y และ -10y เพื่อให้ได้รับ -6y

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย x+y-3

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย y-x-1

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

รวม 5y และ -2y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

รวม 5x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 7x

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

เพิ่ม -15 และ 2 เพื่อให้ได้รับ -13

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

รวม 8x และ -7x เพื่อให้ได้รับ x

$$x-6y+20=3y-13$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-6y+20-3y=-13$$

รวม -6y และ -3y เพื่อให้ได้รับ -9y

$$x-9y+20=-13$$

ลบ 20 จากทั้งสองด้าน

$$x-9y=-13-20$$

ลบ 20 จาก -13 เพื่อรับ -33

$$x-9y=-33$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+3y=0$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-3y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -3y

$$x=-\frac{3}{4}y$$

ทดแทน -\frac{3y}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-9y=-33

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

เพิ่ม -\frac{3y}{4} ไปยัง -9y

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{39}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{44}{13}$$

ทดแทน \frac{44}{13} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

คูณ -\frac{3}{4} ครั้ง \frac{44}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{33}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4,2,6

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

ทำการคูณ

$$4x+3y=12-12$$

ลบ 12 จาก 12 เพื่อรับ 0

$$4x+3y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,2,4,10

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x+y

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -10 ด้วย y-2

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

รวม 4y และ -10y เพื่อให้ได้รับ -6y

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย x+y-3

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย y-x-1

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

รวม 5y และ -2y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

รวม 5x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 7x

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

เพิ่ม -15 และ 2 เพื่อให้ได้รับ -13

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

รวม 8x และ -7x เพื่อให้ได้รับ x

$$x-6y+20=3y-13$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-6y+20-3y=-13$$

รวม -6y และ -3y เพื่อให้ได้รับ -9y

$$x-9y+20=-13$$

ลบ 20 จากทั้งสองด้าน

$$x-9y=-13-20$$

ลบ 20 จาก -13 เพื่อรับ -33

$$x-9y=-33$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4,2,6

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

ทำการคูณ

$$4x+3y=12-12$$

ลบ 12 จาก 12 เพื่อรับ 0

$$4x+3y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,2,4,10

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x+y

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -10 ด้วย y-2

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

รวม 4y และ -10y เพื่อให้ได้รับ -6y

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย x+y-3

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย y-x-1

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

รวม 5y และ -2y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

รวม 5x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 7x

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

เพิ่ม -15 และ 2 เพื่อให้ได้รับ -13

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

รวม 8x และ -7x เพื่อให้ได้รับ x

$$x-6y+20=3y-13$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-6y+20-3y=-13$$

รวม -6y และ -3y เพื่อให้ได้รับ -9y

$$x-9y+20=-13$$

ลบ 20 จากทั้งสองด้าน

$$x-9y=-13-20$$

ลบ 20 จาก -13 เพื่อรับ -33

$$x-9y=-33$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

เพื่อทำให้ 4x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

ลบ 4x-36y=-132 จาก 4x+3y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+3y+36y=132$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y+36y=132$$

เพิ่ม 3y ไปยัง 36y

$$39y=132$$

หารทั้งสองข้างด้วย 39

$$y=\frac{44}{13}$$

ทดแทน \frac{44}{13} สำหรับ y ใน x-9y=-33 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

คูณ -9 ด้วย \frac{44}{13}

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

เพิ่ม \frac{396}{13} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{33}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$