แก้โจทย์ {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,6

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

คูณ 1 และ 2 เพื่อรับ 2

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

เพิ่ม 2 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 3

$$3x+y=3\times 3$$

คูณ 3 และ 3 เพื่อรับ 9

$$3x+y=9$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,3

$$3\times 2x-5y=-3$$

คูณ 3 และ 2 เพื่อรับ 6

$$6x-5y=-3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=9$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+9

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

ทดแทน -\frac{y}{3}+3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x-5y=-3

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

คูณ 6 ด้วย -\frac{y}{3}+3

$$-2y+18-5y=-3$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -5y

$$-7y+18=-3$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7y=-21$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 3

$$x=-1+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -1

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,6

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

คูณ 1 และ 2 เพื่อรับ 2

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

เพิ่ม 2 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 3

$$3x+y=3\times 3$$

คูณ 3 และ 3 เพื่อรับ 9

$$3x+y=9$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,3

$$3\times 2x-5y=-3$$

คูณ 3 และ 2 เพื่อรับ 6

$$6x-5y=-3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,6

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

คูณ 1 และ 2 เพื่อรับ 2

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

เพิ่ม 2 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 3

$$3x+y=3\times 3$$

คูณ 3 และ 3 เพื่อรับ 9

$$3x+y=9$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,3

$$3\times 2x-5y=-3$$

คูณ 3 และ 2 เพื่อรับ 6

$$6x-5y=-3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

เพื่อทำให้ 3x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

ลบ 18x-15y=-9 จาก 18x+6y=54 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

เพิ่ม 18x ไปยัง -18x ตัดพจน์ 18x และ -18x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y+15y=54+9$$

เพิ่ม 6y ไปยัง 15y

$$21y=54+9$$

เพิ่ม 54 ไปยัง 9

$$21y=63$$

หารทั้งสองข้างด้วย 21

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 6x-5y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x-5\times 3=-3$$

คูณ -5 ด้วย 3

$$6x-15=-3$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=3$$