แก้โจทย์ {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$x+y+2-3y=6$$

รวม y และ -3y เพื่อให้ได้รับ -2y

$$x-2y+2=6$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=6-2$$

ลบ 2 จาก 6 เพื่อรับ 4

$$x-2y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$3x+4y=6x-8$$

ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$3x+4y-6x=-8$$

รวม 3x และ -6x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-3x+4y=-8$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-2y=4$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2y+4$$

ทดแทน 4+2y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+4y=-8

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

คูณ -3 ด้วย 4+2y

$$-6y-12+4y=-8$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 4y

$$-2y-12=-8$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=2y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\left(-2\right)+4$$

คูณ 2 ด้วย -2

$$x=-4+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -4

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$x+y+2-3y=6$$

รวม y และ -3y เพื่อให้ได้รับ -2y

$$x-2y+2=6$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=6-2$$

ลบ 2 จาก 6 เพื่อรับ 4

$$x-2y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$3x+4y=6x-8$$

ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$3x+4y-6x=-8$$

รวม 3x และ -6x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-3x+4y=-8$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$x+y+2-3y=6$$

รวม y และ -3y เพื่อให้ได้รับ -2y

$$x-2y+2=6$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=6-2$$

ลบ 2 จาก 6 เพื่อรับ 4

$$x-2y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$3x+4y=6x-8$$

ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$3x+4y-6x=-8$$

รวม 3x และ -6x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-3x+4y=-8$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

เพื่อทำให้ x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

ลบ -3x+4y=-8 จาก -3x+6y=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

เพิ่ม -3x ไปยัง 3x ตัดพจน์ -3x และ 3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-4y=-12+8$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -4y

$$2y=-12+8$$

เพิ่ม -12 ไปยัง 8

$$2y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน -3x+4y=-8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

คูณ 4 ด้วย -2

$$-3x-8=-8$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-2$$