แก้โจทย์ {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับค่า -5,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย y\left(y+5\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y+5,y

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย x+2

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y+5 ด้วย x+7

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

ลบ yx จากทั้งสองด้าน

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

รวม yx และ -yx เพื่อให้ได้รับ 0

$$2y=7y+5x+35$$

ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$2y-7y=5x+35$$

รวม 2y และ -7y เพื่อให้ได้รับ -5y

$$-5y=5x+35$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย 35+5x

$$y=-x-7$$

ทดแทน -x-7 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง -4y+2x=-1

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

คูณ -4 ด้วย -x-7

$$4x+28+2x=-1$$

เพิ่ม 4x ไปยัง 2x

$$6x+28=-1$$

ลบ 28 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-29$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=-\frac{29}{6}$$

ทดแทน -\frac{29}{6} สำหรับ x ใน y=-x-7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

คูณ -1 ด้วย -\frac{29}{6}

$$y=\frac{29}{6}-7$$

เพิ่ม -7 ไปยัง \frac{29}{6}

$$y=-\frac{13}{6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับค่า -5,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย y\left(y+5\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y+5,y

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย x+2

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y+5 ด้วย x+7

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

ลบ yx จากทั้งสองด้าน

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

รวม yx และ -yx เพื่อให้ได้รับ 0

$$2y=7y+5x+35$$

ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$2y-7y=5x+35$$

รวม 2y และ -7y เพื่อให้ได้รับ -5y

$$-5y=5x+35$$

ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$-5y-5x=35$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับค่า -5,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย y\left(y+5\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y+5,y

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย x+2

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y+5 ด้วย x+7

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

ลบ yx จากทั้งสองด้าน

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

รวม yx และ -yx เพื่อให้ได้รับ 0

$$2y=7y+5x+35$$

ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$2y-7y=5x+35$$

รวม 2y และ -7y เพื่อให้ได้รับ -5y

$$-5y=5x+35$$

ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$-5y-5x=35$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

เพื่อทำให้ -5y และ -4y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -5

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

ลบ 20y-10x=5 จาก 20y+20x=-140 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

เพิ่ม 20y ไปยัง -20y ตัดพจน์ 20y และ -20y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$20x+10x=-140-5$$

เพิ่ม 20x ไปยัง 10x

$$30x=-140-5$$

เพิ่ม -140 ไปยัง -5

$$30x=-145$$

หารทั้งสองข้างด้วย 30

$$x=-\frac{29}{6}$$

ทดแทน -\frac{29}{6} สำหรับ x ใน -4y+2x=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{29}{6}

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

เพิ่ม \frac{29}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4y=\frac{26}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=-\frac{13}{6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$