แก้โจทย์ {l}{a/4-bln1/2+1/2=1+ln2}{a-2b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { a } { 4 } - b \ln \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = 1 + \ln 2 } \\ { a - 2 b = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=2$$

$$b=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,2

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

ลบ 2 จาก 4 เพื่อรับ 2

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 64 ด้วย \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

ยกเลิกการหาตัวหารร่วม 4 ใน 64 และ 4

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32$$

ลบ 64\ln(2)b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$16a=\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$a=\frac{1}{16}\left(\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32\right)$$

คูณ \frac{1}{16} ด้วย -64\ln(2)b+32+64\ln(2)

$$a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2$$

ทดแทน -4\ln(2)b+2+4\ln(2) สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง a-2b=0

$$\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2-2b=0$$

เพิ่ม -4\ln(2)b ไปยัง -2b

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b+4\ln(2)+2=0$$

ลบ 2+4\ln(2) จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b=-4\ln(2)-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4\ln(2)-2

$$b=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ b ใน a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-4\ln(2)+4\ln(2)+2$$

เพิ่ม 2+4\ln(2) ไปยัง -4\ln(2)

$$a=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=2,b=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,2

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

ลบ 2 จาก 4 เพื่อรับ 2

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 64 ด้วย \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

ยกเลิกการหาตัวหารร่วม 4 ใน 64 และ 4

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&-\frac{64\ln(2)}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\\-\frac{1}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&\frac{16}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}&\frac{2\ln(2)}{2\ln(2)+1}\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}&-\frac{1}{2\left(2\ln(2)+1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=2,b=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,2

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

ลบ 2 จาก 4 เพื่อรับ 2

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 64 ด้วย \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

ยกเลิกการหาตัวหารร่วม 4 ใน 64 และ 4

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

เพื่อทำให้ 16a และ a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 16

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a+16\left(-2\right)b=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a-32b=0$$

ลบ 16a-32b=0 จาก 16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$16a-16a+64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

เพิ่ม 16a ไปยัง -16a ตัดพจน์ 16a และ -16a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

เพิ่ม 64\ln(2)b ไปยัง 32b

$$\left(64\ln(2)+32\right)b=64\ln(2)+32$$

หารทั้งสองข้างด้วย 32+64\ln(2)

$$b=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ b ใน a-2b=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a-2=0$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$a=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=2,b=1$$