แก้โจทย์ {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 40 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,10,8

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

คูณ 10 และ 5 เพื่อรับ 50

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 50 ด้วย x-3

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

คูณ -4 และ 3 เพื่อรับ -12

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -12 ด้วย 2y+1

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ลบ 12 จาก -150 เพื่อรับ -162

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -7 ด้วย x+y+1

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

ลบ 7 จาก 4 เพื่อรับ -3

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย -3-7x-7y

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

เพิ่ม 35x ไปทั้งสองด้าน

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

รวม 50x และ 35x เพื่อให้ได้รับ 85x

$$85x-162-24y=-15-35y$$

เพิ่ม 35y ไปทั้งสองด้าน

$$85x-162-24y+35y=-15$$

รวม -24y และ 35y เพื่อให้ได้รับ 11y

$$85x-162+11y=-15$$

เพิ่ม 162 ไปทั้งสองด้าน

$$85x+11y=-15+162$$

เพิ่ม -15 และ 162 เพื่อให้ได้รับ 147

$$85x+11y=147$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย 2y-7

$$6x-10y+35=21$$

ลบ 35 จากทั้งสองด้าน

$$6x-10y=21-35$$

ลบ 35 จาก 21 เพื่อรับ -14

$$6x-10y=-14$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$85x+11y=147$$

ลบ 11y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$85x=-11y+147$$

หารทั้งสองข้างด้วย 85

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

คูณ \frac{1}{85} ด้วย -11y+147

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

ทดแทน \frac{-11y+147}{85} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x-10y=-14

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

คูณ 6 ด้วย \frac{-11y+147}{85}

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

เพิ่ม -\frac{66y}{85} ไปยัง -10y

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

ลบ \frac{882}{85} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{916}{85} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{518}{229}$$

ทดแทน \frac{518}{229} สำหรับ y ใน x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

คูณ -\frac{11}{85} ครั้ง \frac{518}{229} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

เพิ่ม \frac{147}{85} ไปยัง -\frac{5698}{19465} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{329}{229}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 40 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,10,8

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

คูณ 10 และ 5 เพื่อรับ 50

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 50 ด้วย x-3

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

คูณ -4 และ 3 เพื่อรับ -12

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -12 ด้วย 2y+1

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ลบ 12 จาก -150 เพื่อรับ -162

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -7 ด้วย x+y+1

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

ลบ 7 จาก 4 เพื่อรับ -3

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย -3-7x-7y

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

เพิ่ม 35x ไปทั้งสองด้าน

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

รวม 50x และ 35x เพื่อให้ได้รับ 85x

$$85x-162-24y=-15-35y$$

เพิ่ม 35y ไปทั้งสองด้าน

$$85x-162-24y+35y=-15$$

รวม -24y และ 35y เพื่อให้ได้รับ 11y

$$85x-162+11y=-15$$

เพิ่ม 162 ไปทั้งสองด้าน

$$85x+11y=-15+162$$

เพิ่ม -15 และ 162 เพื่อให้ได้รับ 147

$$85x+11y=147$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย 2y-7

$$6x-10y+35=21$$

ลบ 35 จากทั้งสองด้าน

$$6x-10y=21-35$$

ลบ 35 จาก 21 เพื่อรับ -14

$$6x-10y=-14$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 40 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,10,8

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

คูณ 10 และ 5 เพื่อรับ 50

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 50 ด้วย x-3

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

คูณ -4 และ 3 เพื่อรับ -12

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -12 ด้วย 2y+1

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ลบ 12 จาก -150 เพื่อรับ -162

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -7 ด้วย x+y+1

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

ลบ 7 จาก 4 เพื่อรับ -3

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย -3-7x-7y

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

เพิ่ม 35x ไปทั้งสองด้าน

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

รวม 50x และ 35x เพื่อให้ได้รับ 85x

$$85x-162-24y=-15-35y$$

เพิ่ม 35y ไปทั้งสองด้าน

$$85x-162-24y+35y=-15$$

รวม -24y และ 35y เพื่อให้ได้รับ 11y

$$85x-162+11y=-15$$

เพิ่ม 162 ไปทั้งสองด้าน

$$85x+11y=-15+162$$

เพิ่ม -15 และ 162 เพื่อให้ได้รับ 147

$$85x+11y=147$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย 2y-7

$$6x-10y+35=21$$

ลบ 35 จากทั้งสองด้าน

$$6x-10y=21-35$$

ลบ 35 จาก 21 เพื่อรับ -14

$$6x-10y=-14$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

เพื่อทำให้ 85x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 85

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

ลบ 510x-850y=-1190 จาก 510x+66y=882 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

เพิ่ม 510x ไปยัง -510x ตัดพจน์ 510x และ -510x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$66y+850y=882+1190$$

เพิ่ม 66y ไปยัง 850y

$$916y=882+1190$$

เพิ่ม 882 ไปยัง 1190

$$916y=2072$$

หารทั้งสองข้างด้วย 916

$$y=\frac{518}{229}$$

ทดแทน \frac{518}{229} สำหรับ y ใน 6x-10y=-14 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

คูณ -10 ด้วย \frac{518}{229}

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

เพิ่ม \frac{5180}{229} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=\frac{1974}{229}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{329}{229}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$