แก้โจทย์ {l}{3/2x+b=6}{3x+b=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 2 } x + b = 6 } \\ { 3 x + b = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, b

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$b=10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{3}{2}x+b=6,3x+b=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{3}{2}x+b=6$$

ลบ b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{2}x=-b+6$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{2}{3}\left(-b+6\right)$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย -b+6

$$x=-\frac{2}{3}b+4$$

ทดแทน -\frac{2b}{3}+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+b=2

$$3\left(-\frac{2}{3}b+4\right)+b=2$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{2b}{3}+4

$$-2b+12+b=2$$

เพิ่ม -2b ไปยัง b

$$-b+12=2$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-b=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$b=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ b ใน x=-\frac{2}{3}b+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\times 10+4$$

คูณ -\frac{2}{3} ด้วย 10

$$x=-\frac{20}{3}+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -\frac{20}{3}

$$x=-\frac{8}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{8}{3},b=10$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{3}{2}x+b=6,3x+b=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{3}{2}-3}&-\frac{1}{\frac{3}{2}-3}\\-\frac{3}{\frac{3}{2}-3}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{2}{3}\times 2\\2\times 6-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\10\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ b

$$x=-\frac{8}{3},b=10$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{3}{2}x+b=6,3x+b=2$$

ลบ 3x+b=2 จาก \frac{3}{2}x+b=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{3}{2}x-3x+b-b=6-2$$

เพิ่ม b ไปยัง -b ตัดพจน์ b และ -b ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{3}{2}x-3x=6-2$$

เพิ่ม \frac{3x}{2} ไปยัง -3x

$$-\frac{3}{2}x=6-2$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -2

$$-\frac{3}{2}x=4$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{8}{3}$$

ทดแทน -\frac{8}{3} สำหรับ x ใน 3x+b=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$3\left(-\frac{8}{3}\right)+b=2$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{8}{3}

$$-8+b=2$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$b=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{8}{3},b=10$$