แก้โจทย์ {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$2x-5+3y-4=-1$$

ลบ 4 จาก -5 เพื่อรับ -9

$$2x-9+3y=-1$$

เพิ่ม 9 ไปทั้งสองด้าน

$$2x+3y=-1+9$$

เพิ่ม -1 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 8

$$2x+3y=8$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y=8$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y+8

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

ทดแทน -\frac{3y}{2}+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+y=5

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

คูณ -1 ด้วย -\frac{3y}{2}+4

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

เพิ่ม \frac{3y}{2} ไปยัง y

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{2}y=9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{18}{5}$$

ทดแทน \frac{18}{5} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

คูณ -\frac{3}{2} ครั้ง \frac{18}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -\frac{27}{5}

$$x=-\frac{7}{5}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$2x-5+3y-4=-1$$

ลบ 4 จาก -5 เพื่อรับ -9

$$2x-9+3y=-1$$

เพิ่ม 9 ไปทั้งสองด้าน

$$2x+3y=-1+9$$

เพิ่ม -1 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 8

$$2x+3y=8$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$2x-5+3y-4=-1$$

ลบ 4 จาก -5 เพื่อรับ -9

$$2x-9+3y=-1$$

เพิ่ม 9 ไปทั้งสองด้าน

$$2x+3y=-1+9$$

เพิ่ม -1 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 8

$$2x+3y=8$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

เพื่อทำให้ 2x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

ลบ -2x+2y=10 จาก -2x-3y=-8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3y-2y=-8-10$$

เพิ่ม -3y ไปยัง -2y

$$-5y=-8-10$$

เพิ่ม -8 ไปยัง -10

$$-5y=-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=\frac{18}{5}$$

ทดแทน \frac{18}{5} สำหรับ y ใน -x+y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

ลบ \frac{18}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=\frac{7}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-\frac{7}{5}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$