แก้โจทย์ {l}{2x/5+3y/4=1/5}{5x/6+frac{5y}{2}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x } { 5 } + \frac { 3 y } { 4 } = \frac { 1 } { 5 } } \\ { \frac { 5 x } { 6 } + \frac { 5 y } { 2 } = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$y = \frac{76}{45} = 1\frac{31}{45} \approx 1.688888889$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,4

$$4\times 2x+5\times 3y=4$$

คูณ 4 และ 2 เพื่อรับ 8

$$8x+5\times 3y=4$$

คูณ 5 และ 3 เพื่อรับ 15

$$8x+15y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,2

$$5x+3\times 5y=12$$

คูณ 3 และ 5 เพื่อรับ 15

$$5x+15y=12$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x+15y=4,5x+15y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x+15y=4$$

ลบ 15y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=-15y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(-15y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย -15y+4

$$x=-\frac{15}{8}y+\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{15y}{8}+\frac{1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+15y=12

$$5\left(-\frac{15}{8}y+\frac{1}{2}\right)+15y=12$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{15y}{8}+\frac{1}{2}

$$-\frac{75}{8}y+\frac{5}{2}+15y=12$$

เพิ่ม -\frac{75y}{8} ไปยัง 15y

$$\frac{45}{8}y+\frac{5}{2}=12$$

ลบ \frac{5}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{45}{8}y=\frac{19}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{45}{8} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{76}{45}$$

ทดแทน \frac{76}{45} สำหรับ y ใน x=-\frac{15}{8}y+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{15}{8}\times \frac{76}{45}+\frac{1}{2}$$

คูณ -\frac{15}{8} ครั้ง \frac{76}{45} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง -\frac{19}{6} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{8}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{8}{3},y=\frac{76}{45}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,4

$$4\times 2x+5\times 3y=4$$

คูณ 4 และ 2 เพื่อรับ 8

$$8x+5\times 3y=4$$

คูณ 5 และ 3 เพื่อรับ 15

$$8x+15y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,2

$$5x+3\times 5y=12$$

คูณ 3 และ 5 เพื่อรับ 15

$$5x+15y=12$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x+15y=4,5x+15y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{8\times 15-15\times 5}&-\frac{15}{8\times 15-15\times 5}\\-\frac{5}{8\times 15-15\times 5}&\frac{8}{8\times 15-15\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{8}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\times 4+\frac{8}{45}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\\frac{76}{45}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{8}{3},y=\frac{76}{45}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,4

$$4\times 2x+5\times 3y=4$$

คูณ 4 และ 2 เพื่อรับ 8

$$8x+5\times 3y=4$$

คูณ 5 และ 3 เพื่อรับ 15

$$8x+15y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,2

$$5x+3\times 5y=12$$

คูณ 3 และ 5 เพื่อรับ 15

$$5x+15y=12$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x+15y=4,5x+15y=12$$

ลบ 5x+15y=12 จาก 8x+15y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-5x+15y-15y=4-12$$

เพิ่ม 15y ไปยัง -15y ตัดพจน์ 15y และ -15y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8x-5x=4-12$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -5x

$$3x=4-12$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -12

$$3x=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-\frac{8}{3}$$

ทดแทน -\frac{8}{3} สำหรับ x ใน 5x+15y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$5\left(-\frac{8}{3}\right)+15y=12$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{8}{3}

$$-\frac{40}{3}+15y=12$$

เพิ่ม \frac{40}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$15y=\frac{76}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$y=\frac{76}{45}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{8}{3},y=\frac{76}{45}$$