แก้โจทย์ {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$2x+7y+3y=0$$

รวม 7y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 10y

$$2x+10y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x+5y-1=4-2x$$

เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$2x+5y-1+2x=4$$

รวม 2x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$4x+5y-1=4$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$4x+5y=4+1$$

เพิ่ม 4 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 5

$$4x+5y=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+10y=0$$

ลบ 10y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-10y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -10y

$$x=-5y$$

ทดแทน -5y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+5y=5

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

คูณ 4 ด้วย -5y

$$-20y+5y=5$$

เพิ่ม -20y ไปยัง 5y

$$-15y=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -15

$$y=-\frac{1}{3}$$

ทดแทน -\frac{1}{3} สำหรับ y ใน x=-5y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

คูณ -5 ด้วย -\frac{1}{3}

$$x=\frac{5}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$2x+7y+3y=0$$

รวม 7y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 10y

$$2x+10y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x+5y-1=4-2x$$

เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$2x+5y-1+2x=4$$

รวม 2x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$4x+5y-1=4$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$4x+5y=4+1$$

เพิ่ม 4 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 5

$$4x+5y=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$2x+7y+3y=0$$

รวม 7y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 10y

$$2x+10y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x+5y-1=4-2x$$

เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$2x+5y-1+2x=4$$

รวม 2x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$4x+5y-1=4$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$4x+5y=4+1$$

เพิ่ม 4 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 5

$$4x+5y=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

เพื่อทำให้ 2x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

ลบ 8x+10y=10 จาก 8x+40y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$40y-10y=-10$$

เพิ่ม 40y ไปยัง -10y

$$30y=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 30

$$y=-\frac{1}{3}$$

ทดแทน -\frac{1}{3} สำหรับ y ใน 4x+5y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{1}{3}

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{20}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{5}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$