\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 3 } { 4 } y = \frac { 17 } { 12 } } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 2 } y = - \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.
หาค่า x, y
x=1
y=1
กราฟ
แชร์
คัดลอกไปยังคลิปบอร์ดแล้ว
\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12},\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}
เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง
\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12}
เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ
\frac{2}{3}x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{12}
ลบ \frac{3y}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ
x=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{4}y+\frac{17}{12}\right)
หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{2}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน
x=-\frac{9}{8}y+\frac{17}{8}
คูณ \frac{3}{2} ด้วย -\frac{3y}{4}+\frac{17}{12}
\frac{1}{6}\left(-\frac{9}{8}y+\frac{17}{8}\right)-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}
ทดแทน \frac{-9y+17}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}
-\frac{3}{16}y+\frac{17}{48}-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}
คูณ \frac{1}{6} ด้วย \frac{-9y+17}{8}
-\frac{11}{16}y+\frac{17}{48}=-\frac{1}{3}
เพิ่ม -\frac{3y}{16} ไปยัง -\frac{y}{2}
-\frac{11}{16}y=-\frac{11}{16}
ลบ \frac{17}{48} จากทั้งสองข้างของสมการ
y=1
หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{11}{16} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน
x=\frac{-9+17}{8}
ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=-\frac{9}{8}y+\frac{17}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้
x=1
เพิ่ม \frac{17}{8} ไปยัง -\frac{9}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้
x=1,y=1
ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้
\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12},\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}
ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ
\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}&-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}&\frac{18}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{16}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
ดำเนินการทางคณิตศาสตร์
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}\times \frac{17}{12}+\frac{18}{11}\left(-\frac{1}{3}\right)\\\frac{4}{11}\times \frac{17}{12}-\frac{16}{11}\left(-\frac{1}{3}\right)\end{matrix}\right)
คูณเมทริกซ์
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)
ดำเนินการทางคณิตศาสตร์
x=1,y=1
แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y
\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12},\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}
เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ
\frac{1}{6}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{6}\times \frac{3}{4}y=\frac{1}{6}\times \frac{17}{12},\frac{2}{3}\times \frac{1}{6}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)y=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)
เพื่อทำให้ \frac{2x}{3} และ \frac{x}{6} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{1}{6} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{2}{3}
\frac{1}{9}x+\frac{1}{8}y=\frac{17}{72},\frac{1}{9}x-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{9}
ทำให้ง่ายขึ้น
\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}x+\frac{1}{8}y+\frac{1}{3}y=\frac{17}{72}+\frac{2}{9}
ลบ \frac{1}{9}x-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{9} จาก \frac{1}{9}x+\frac{1}{8}y=\frac{17}{72} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ
\frac{1}{8}y+\frac{1}{3}y=\frac{17}{72}+\frac{2}{9}
เพิ่ม \frac{x}{9} ไปยัง -\frac{x}{9} ตัดพจน์ \frac{x}{9} และ -\frac{x}{9} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้
\frac{11}{24}y=\frac{17}{72}+\frac{2}{9}
เพิ่ม \frac{y}{8} ไปยัง \frac{y}{3}
\frac{11}{24}y=\frac{11}{24}
เพิ่ม \frac{17}{72} ไปยัง \frac{2}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้
y=1
หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{24} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน
\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}
ทดแทน 1 สำหรับ y ใน \frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้
\frac{1}{6}x=\frac{1}{6}
เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ
x=1
คูณทั้งสองข้างด้วย 6
x=1,y=1
ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้
ตัวอย่าง
สมการกำลังสอง
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
ตรีโกณมิติ
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
สมการเชิงเส้น
y = 3x + 4
เลขคณิต
699 * 533
เมทริกซ์
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
สมการหลายชั้น
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
การหาอนุพันธ์
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
การหาปริพันธ์
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
ลิมิต
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}