แก้โจทย์ {l}{1/7x+5/7y=1}{5/6x+1/4y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 7 } x + \frac { 5 } { 7 } y = 1 } \\ { \frac { 5 } { 6 } x + \frac { 1 } { 4 } y = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1$$

ลบ \frac{5y}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{7}x=-\frac{5}{7}y+1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=7\left(-\frac{5}{7}y+1\right)$$

คูณ 7 ด้วย -\frac{5y}{7}+1

$$x=-5y+7$$

ทดแทน -5y+7 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2

$$\frac{5}{6}\left(-5y+7\right)+\frac{1}{4}y=-2$$

คูณ \frac{5}{6} ด้วย -5y+7

$$-\frac{25}{6}y+\frac{35}{6}+\frac{1}{4}y=-2$$

เพิ่ม -\frac{25y}{6} ไปยัง \frac{y}{4}

$$-\frac{47}{12}y+\frac{35}{6}=-2$$

ลบ \frac{35}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{47}{12}y=-\frac{47}{6}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{47}{12} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-5y+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-5\times 2+7$$

คูณ -5 ด้วย 2

$$x=-10+7$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -10

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}&-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}\\-\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}&\frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{47}&\frac{60}{47}\\\frac{70}{47}&-\frac{12}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{47}+\frac{60}{47}\left(-2\right)\\\frac{70}{47}-\frac{12}{47}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2$$

เพื่อทำให้ \frac{x}{7} และ \frac{5x}{6} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{5}{6} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{1}{7}

$$\frac{5}{6}\times \frac{1}{7}x+\frac{5}{6}\times \frac{5}{7}y=\frac{5}{6},\frac{1}{7}\times \frac{5}{6}x+\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{7}\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y=\frac{5}{6},\frac{5}{42}x+\frac{1}{28}y=-\frac{2}{7}$$

ลบ \frac{5}{42}x+\frac{1}{28}y=-\frac{2}{7} จาก \frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y=\frac{5}{6} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{5}{42}x-\frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y-\frac{1}{28}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}$$

เพิ่ม \frac{5x}{42} ไปยัง -\frac{5x}{42} ตัดพจน์ \frac{5x}{42} และ -\frac{5x}{42} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{25}{42}y-\frac{1}{28}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}$$

เพิ่ม \frac{25y}{42} ไปยัง -\frac{y}{28}

$$\frac{47}{84}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}$$

เพิ่ม \frac{5}{6} ไปยัง \frac{2}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$\frac{47}{84}y=\frac{47}{42}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{47}{84} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน \frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}\times 2=-2$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 2

$$\frac{5}{6}x+\frac{1}{2}=-2$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{6}x=-\frac{5}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{6} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=2$$