แก้โจทย์ {c}{y=2x+1}{y=-5x+15}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 x + 1 } \\ { y = - 5 x + 15 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$y+5x=15$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-2x=1,y+5x=15$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-2x=1$$

เพิ่ม 2x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=2x+1$$

ทดแทน 2x+1 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+5x=15

$$2x+1+5x=15$$

เพิ่ม 2x ไปยัง 5x

$$7x+1=15$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน y=2x+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=2\times 2+1$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$y=4+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 4

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$y+5x=15$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-2x=1,y+5x=15$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\times 15\\-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=5,x=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$y+5x=15$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-2x=1,y+5x=15$$

ลบ y+5x=15 จาก y-2x=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-2x-5x=1-15$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2x-5x=1-15$$

เพิ่ม -2x ไปยัง -5x

$$-7x=1-15$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -15

$$-7x=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน y+5x=15 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+5\times 2=15$$

คูณ 5 ด้วย 2

$$y+10=15$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=2$$