แก้โจทย์ {c}{y=2-2x}{5y+2x=14}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 - 2 x } \\ { 5 y + 2 x = 14 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+2x=2$$

ลบ 2x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-2x+2$$

ทดแทน -2x+2 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 5y+2x=14

$$5\left(-2x+2\right)+2x=14$$

คูณ 5 ด้วย -2x+2

$$-10x+10+2x=14$$

เพิ่ม -10x ไปยัง 2x

$$-8x+10=14$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{1}{2} สำหรับ x ใน y=-2x+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-2\left(-\frac{1}{2}\right)+2$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{1}{2}

$$y=1+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 1

$$y=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 5}&-\frac{2}{2-2\times 5}\\-\frac{5}{2-2\times 5}&\frac{1}{2-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{1}{8}\times 14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

ลบ 5y+2x=14 จาก y+2x=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-5y+2x-2x=2-14$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y-5y=2-14$$

เพิ่ม y ไปยัง -5y

$$-4y=2-14$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -14

$$-4y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 5y+2x=14 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5\times 3+2x=14$$

คูณ 5 ด้วย 3

$$15+2x=14$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$