แก้โจทย์ {c}{x+2y=-3}{2x-3y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y = - 3 } \\ { 2 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

$$y=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=-3,2x-3y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=-3$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y-3$$

ทดแทน -2y-3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-3y=-3

$$2\left(-2y-3\right)-3y=-3$$

คูณ 2 ด้วย -2y-3

$$-4y-6-3y=-3$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -3y

$$-7y-6=-3$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-7y=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=-\frac{3}{7}$$

ทดแทน -\frac{3}{7} สำหรับ y ใน x=-2y-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\left(-\frac{3}{7}\right)-3$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{3}{7}

$$x=\frac{6}{7}-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง \frac{6}{7}

$$x=-\frac{15}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{15}{7},y=-\frac{3}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=-3,2x-3y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-3\right)+\frac{2}{7}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\left(-3\right)-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{15}{7},y=-\frac{3}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=-3,2x-3y=-3$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\times 2y=2\left(-3\right),2x-3y=-3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+4y=-6,2x-3y=-3$$

ลบ 2x-3y=-3 จาก 2x+4y=-6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+4y+3y=-6+3$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y+3y=-6+3$$

เพิ่ม 4y ไปยัง 3y

$$7y=-6+3$$

เพิ่ม -6 ไปยัง 3

$$7y=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=-\frac{3}{7}$$

ทดแทน -\frac{3}{7} สำหรับ y ใน 2x-3y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-3\left(-\frac{3}{7}\right)=-3$$

คูณ -3 ด้วย -\frac{3}{7}

$$2x+\frac{9}{7}=-3$$

ลบ \frac{9}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-\frac{30}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{15}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{15}{7},y=-\frac{3}{7}$$