แก้โจทย์ {c}{5x-y=5}{3y-2x=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - y = 5 } \\ { 3 y - 2 x = 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-y=5,-2x+3y=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-y=5$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย y+5

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

ทดแทน \frac{y}{5}+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+3y=11

$$-2\left(\frac{1}{5}y+1\right)+3y=11$$

คูณ -2 ด้วย \frac{y}{5}+1

$$-\frac{2}{5}y-2+3y=11$$

เพิ่ม -\frac{2y}{5} ไปยัง 3y

$$\frac{13}{5}y-2=11$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{5}y=13$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{5}y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{5}\times 5+1$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 5

$$x=1+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 1

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-y=5,-2x+3y=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{13}\times 11\\\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-y=5,-2x+3y=11$$

เพื่อทำให้ 5x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 5,5\left(-2\right)x+5\times 3y=5\times 11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-10x+2y=-10,-10x+15y=55$$

ลบ -10x+15y=55 จาก -10x+2y=-10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-10x+10x+2y-15y=-10-55$$

เพิ่ม -10x ไปยัง 10x ตัดพจน์ -10x และ 10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y-15y=-10-55$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -15y

$$-13y=-10-55$$

เพิ่ม -10 ไปยัง -55

$$-13y=-65$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน -2x+3y=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+3\times 5=11$$

คูณ 3 ด้วย 5

$$-2x+15=11$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=5$$