แก้โจทย์ {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2y+5x=12$$

ลบ 5x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=-5x+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -5x+12

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

ทดแทน -\frac{5x}{2}+6 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง -6y-2x=-24

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

คูณ -6 ด้วย -\frac{5x}{2}+6

$$15x-36-2x=-24$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -2x

$$13x-36=-24$$

เพิ่ม 36 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$13x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$x=\frac{12}{13}$$

ทดแทน \frac{12}{13} สำหรับ x ใน y=-\frac{5}{2}x+6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

คูณ -\frac{5}{2} ครั้ง \frac{12}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -\frac{30}{13}

$$y=\frac{48}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

เพื่อทำให้ 2y และ -6y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

ลบ -12y-4x=-48 จาก -12y-30x=-72 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

เพิ่ม -12y ไปยัง 12y ตัดพจน์ -12y และ 12y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-30x+4x=-72+48$$

เพิ่ม -30x ไปยัง 4x

$$-26x=-72+48$$

เพิ่ม -72 ไปยัง 48

$$-26x=-24$$

หารทั้งสองข้างด้วย -26

$$x=\frac{12}{13}$$

ทดแทน \frac{12}{13} สำหรับ x ใน -6y-2x=-24 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

คูณ -2 ด้วย \frac{12}{13}

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

เพิ่ม \frac{24}{13} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=\frac{48}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$