แก้โจทย์ {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-y=4$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย y+4

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

ทดแทน \frac{y}{2}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+3y=3

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

คูณ 4 ด้วย \frac{y}{2}+2

$$2y+8+3y=3$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 3y

$$5y+8=3$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -1

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -\frac{1}{2}

$$x=\frac{3}{2}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

เพื่อทำให้ 2x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

ลบ 8x+6y=6 จาก 8x-4y=16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y-6y=16-6$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -6y

$$-10y=16-6$$

เพิ่ม 16 ไปยัง -6

$$-10y=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 4x+3y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

คูณ 3 ด้วย -1

$$4x-3=3$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{3}{2}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$