แก้โจทย์ {c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 3x-y

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-5y

$$6x-2y=2x-10y-64$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

รวม 6x และ -2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$4x-2y=-10y-64$$

เพิ่ม 10y ไปทั้งสองด้าน

$$4x-2y+10y=-64$$

รวม -2y และ 10y เพื่อให้ได้รับ 8y

$$4x+8y=-64$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 3x-2

$$9x-6-2y=0$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$9x-2y=6$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+8y=-64$$

ลบ 8y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-8y-64$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -8y-64

$$x=-2y-16$$

ทดแทน -2y-16 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 9x-2y=6

$$9\left(-2y-16\right)-2y=6$$

คูณ 9 ด้วย -2y-16

$$-18y-144-2y=6$$

เพิ่ม -18y ไปยัง -2y

$$-20y-144=6$$

เพิ่ม 144 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-20y=150$$

หารทั้งสองข้างด้วย -20

$$y=-\frac{15}{2}$$

ทดแทน -\frac{15}{2} สำหรับ y ใน x=-2y-16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\left(-\frac{15}{2}\right)-16$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{15}{2}

$$x=15-16$$

เพิ่ม -16 ไปยัง 15

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 3x-y

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-5y

$$6x-2y=2x-10y-64$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

รวม 6x และ -2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$4x-2y=-10y-64$$

เพิ่ม 10y ไปทั้งสองด้าน

$$4x-2y+10y=-64$$

รวม -2y และ 10y เพื่อให้ได้รับ 8y

$$4x+8y=-64$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 3x-2

$$9x-6-2y=0$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$9x-2y=6$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 6\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 3x-y

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-5y

$$6x-2y=2x-10y-64$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

รวม 6x และ -2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$4x-2y=-10y-64$$

เพิ่ม 10y ไปทั้งสองด้าน

$$4x-2y+10y=-64$$

รวม -2y และ 10y เพื่อให้ได้รับ 8y

$$4x+8y=-64$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 3x-2

$$9x-6-2y=0$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$9x-2y=6$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

เพื่อทำให้ 4x และ 9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$36x+72y=-576,36x-8y=24$$

ลบ 36x-8y=24 จาก 36x+72y=-576 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$36x-36x+72y+8y=-576-24$$

เพิ่ม 36x ไปยัง -36x ตัดพจน์ 36x และ -36x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$72y+8y=-576-24$$

เพิ่ม 72y ไปยัง 8y

$$80y=-576-24$$

เพิ่ม -576 ไปยัง -24

$$80y=-600$$

หารทั้งสองข้างด้วย 80

$$y=-\frac{15}{2}$$

ทดแทน -\frac{15}{2} สำหรับ y ใน 9x-2y=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$9x-2\left(-\frac{15}{2}\right)=6$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{15}{2}

$$9x+15=6$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$