แก้โจทย์ ∫ (from 122 to 328) of (left(2-left(x-2right)^2right)^2-left(2-05right)^2) wrt x

$$\int_{ 122 }^{ 328 } ( { \left(2- { \left(x-2 \right) }^{ 2 } \right) }^{ 2 } - { \left(2-05 \right) }^{ 2 } ) d x$$

หาค่า

$$\frac{10970799276608}{15}\approx 731386618440.533333333$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-2\right)^{2}

$$\int _{122}^{328}\left(2-\left(x^{2}-4x+4\right)\right)^{2}-\left(2-0\times 5\right)^{2}\mathrm{d}x$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x^{2}-4x+4 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$\int _{122}^{328}\left(2-x^{2}+4x-4\right)^{2}-\left(2-0\times 5\right)^{2}\mathrm{d}x$$

ลบ 4 จาก 2 เพื่อรับ -2

$$\int _{122}^{328}\left(-2-x^{2}+4x\right)^{2}-\left(2-0\times 5\right)^{2}\mathrm{d}x$$

ยกกำลังสอง -2-x^{2}+4x

$$\int _{122}^{328}x^{4}-8x^{3}+20x^{2}-16x+4-\left(2-0\times 5\right)^{2}\mathrm{d}x$$

คูณ 0 และ 5 เพื่อรับ 0

$$\int _{122}^{328}x^{4}-8x^{3}+20x^{2}-16x+4-\left(2-0\right)^{2}\mathrm{d}x$$

ลบ 0 จาก 2 เพื่อรับ 2

$$\int _{122}^{328}x^{4}-8x^{3}+20x^{2}-16x+4-2^{2}\mathrm{d}x$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$\int _{122}^{328}x^{4}-8x^{3}+20x^{2}-16x+4-4\mathrm{d}x$$

ลบ 4 จาก 4 เพื่อรับ 0

$$\int _{122}^{328}x^{4}-8x^{3}+20x^{2}-16x\mathrm{d}x$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int x^{4}-8x^{3}+20x^{2}-16x\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -8x^{3}\mathrm{d}x+\int 20x^{2}\mathrm{d}x+\int -16x\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-8\int x^{3}\mathrm{d}x+20\int x^{2}\mathrm{d}x-16\int x\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{4}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{5}}{5}

$$\frac{x^{5}}{5}-8\int x^{3}\mathrm{d}x+20\int x^{2}\mathrm{d}x-16\int x\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{3}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{4}}{4} คูณ -8 ด้วย \frac{x^{4}}{4}

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+20\int x^{2}\mathrm{d}x-16\int x\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 20 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+\frac{20x^{3}}{3}-16\int x\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ -16 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+\frac{20x^{3}}{3}-8x^{2}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{328^{5}}{5}-2\times 328^{4}+\frac{20}{3}\times 328^{3}-8\times 328^{2}-\left(\frac{122^{5}}{5}-2\times 122^{4}+\frac{20}{3}\times 122^{3}-8\times 122^{2}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{10970799276608}{15}$$