แก้โจทย์ ∫ (from 0 to pi) of sqrt{2x^3 wrt x

$$\int_{ 0 }^{ \pi } \sqrt{ 2 { x }^{ 3 } } d x$$

หาค่า

$$\frac{2\sqrt{2}\pi ^{\frac{5}{2}}}{5}\approx 9.89577178$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int \sqrt{2x^{3}}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่โดยใช้ \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x

$$\sqrt{2}\int \sqrt{x^{3}}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x ด้วย \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}

$$\sqrt{2}\times \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\pi ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 0^{\frac{5}{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{\left(2\pi \right)^{\frac{5}{2}}}{10}$$