แก้โจทย์ ∫ (from -1 to 7) of 2x+5-(x^2-2x) wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 7 } 2x+5-( { x }^{ 2 } -2x) d x$$

หาค่า

$$\frac{64}{3}\approx 21.333333333$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x^{2}-2x ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$\int _{-1}^{7}2x+5-x^{2}+2x\mathrm{d}x$$

รวม 2x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$\int _{-1}^{7}4x+5-x^{2}\mathrm{d}x$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 4x+5-x^{2}\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$4\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ 4 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$2x^{2}+\int 5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 5 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$2x^{2}+5x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ -1 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$2x^{2}+5x-\frac{x^{3}}{3}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$2\times 7^{2}+5\times 7-\frac{7^{3}}{3}-\left(2\left(-1\right)^{2}+5\left(-1\right)-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{64}{3}$$