แก้โจทย์ ∫ (from -1 to 3) of x^2-2x-3 wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 3 } { x }^{ 2 } -2x-3 d x$$

หาค่า

$$-\frac{32}{3}\approx -10.666666667$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int x^{2}-2x-3\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ -2 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+\int -3\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ -3 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{3^{3}}{3}-3^{2}-3\times 3-\left(\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-\left(-1\right)^{2}-3\left(-1\right)\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\frac{32}{3}$$