แก้โจทย์ ∫ (from -1 to 1) of x+2x^2-x^3+5x^4 wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 1 } x+2 { x }^{ 2 } - { x }^{ 3 } +5 { x }^{ 4 } d x$$

หาค่า

$$\frac{10}{3}\approx 3.333333333$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int x+2x^{2}-x^{3}+5x^{4}\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int x\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int -x^{3}\mathrm{d}x+\int 5x^{4}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int x\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x^{3}\mathrm{d}x+5\int x^{4}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{x^{2}}{2}+2\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x^{3}\mathrm{d}x+5\int x^{4}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 2 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}-\int x^{3}\mathrm{d}x+5\int x^{4}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{3}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{4}}{4} คูณ -1 ด้วย \frac{x^{4}}{4}

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+5\int x^{4}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{4}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{5}}{5} คูณ 5 ด้วย \frac{x^{5}}{5}

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+x^{5}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{1^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 1^{3}-\frac{1^{4}}{4}+1^{5}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}+\frac{2}{3}\left(-1\right)^{3}-\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}+\left(-1\right)^{5}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{10}{3}$$